СРАВНЕНИЕ СПОСОБОВ РАСЧЁТА ОПТИМАЛЬНОГО ЭНЕРГОСБЕРЕГАЮЩЕГО УПРАВЛЕНИЯ НАГРЕВОМ НЕПРЕРЫВНОЛИТЫХ ЗАГОТОВОК В МЕТОДИЧЕСКИХ ПЕЧАХ

 

Металлургия и энергетика.

 

Галкин М.В., студент, Магнитогорский государственный технический университет им. Г.И. Носова, Магнитогорск, Россия

Савельева А.В., студент, Магнитогорский государственный технический университет им. Г.И. Носова, Магнитогорск, Россия

Андреев С.М, доцент, к.т.н., Магнитогорский государственный технический университет им. Г.И. Носова, Магнитогорск, Россия

 

СРАВНЕНИЕ СПОСОБОВ РАСЧЁТА ОПТИМАЛЬНОГО ЭНЕРГОСБЕРЕГАЮЩЕГО УПРАВЛЕНИЯ НАГРЕВОМ НЕПРЕРЫВНОЛИТЫХ ЗАГОТОВОК  В МЕТОДИЧЕСКИХ ПЕЧАХ

 

Аннотация: При нагреве заготовок в методических нагревательных печах зачастую ставится задача нагрева с наименьшими затратами топлива на нагрев. При этом существует множество способов отыскания минимума функционала энергетических затрат. В данной работе осуществлён расчёт оптимального управления с применением функции "Поиск решения" табличного редактора Excel и в соответствии с принципом максимума Понтрягина. Произведено сравнение интегральных оценок энергетических затрат каждого из методов и сделан вывод о том, что оба метода позволяют находить единственное оптимальное управление для заданных условий.

 

Ключевые слова: упрощённая модель нагрева, метод Понтрягина, оптимальное управление, минимальные энергетические затраты.

 


Введение

 

Задача оптимального управления заключается в том,  чтобы перевести модель исследуемой системы из начального состояния в конечное, руководствуясь определенным критерием качества [1, с. 113]. Причём в общем случае способов перевода системы из одного состояния в другое бесконечно много.

Оптимальные режимы нагрева металла, предусматривающие минимизацию затрат топлива на нагрев, ставят своей целью расчет и поддержание такого режима нагрева заготовки, который позволит получить конечную продукцию заданного качества и количества при минимальных удельных затратах на нагрев. На практике цель управления нагревом выражают математически с помощью функционала (критерия управления, включающего в себя какие-то из затрат на передел),  для которого необходимо найти экстремум (минимум или максимум).

При энергосберегающем режиме нагрева целью управления является минимизация энергетических затрат (расхода топлива) на нагрев металла до заданного теплового состояния за заданное время Т, а затраты энергии на нагрев определяются функционалом вида (ф. 1) [2, c. 165]:

 

                                                                               (формула 1)

где U(τ)=k·Vг(τ) – характеристическая температура управления, пропорциональная расходу топлива, °С;

      Vг(τ) – расход топлива;

      k – коэффициент передачи по каналу расход топлива – U(τ);

      τ – текущее время процесса 0 ≤ τ ≤ T;

      T – заданное время нагрева.

Поставим следующую вариационную задачу. Требуется выбрать такое управляющее воздействие (характеристическую температуру управления), чтобы по окончанию заданного времени процесса нагрева Т тепловое состояние металла из начального состояния, перешло в конечное состояние, и при этом функционал (1) принимал наименьшее из всех возможных значений.

 

Упрощённая модель нагрева металла

 

Непрерывнолитые заготовки представляют собой термически массивные тела [3, c. 53], их нагрев можно рассматривать в соответствии с упрощённой моделью, состоящей из системы трёх инерционных звеньев (рис. 1) с инерционностями T1=20 мин, T2=27,36 мин, T3=14,53 мин соответственно.

 

 

Рисунок 1 – Упрощенная модель нагрева металла

 

На рис. 1 представлены: U – характеристическая температура управления, Тгс – температура греющей среды, Тпов – температура поверхности заготовки, Тц – температура центра заготовки

Таким образом решение выше поставленной вариационной задачи свелось к определению такого управляющее воздействиея U, при котором параметры нагреваемого тела перейдут из начального в конечное состояние за определенное время Т.

Интервал времени t делится на i=n участков и на каждом участке подбирается такое управляющее воздействие Ui, чтобы целевая функция управления достигала минимального значения (ф. 2):

  (формула 2)
где     и   это расчетное значение температур в момент времени Т,

  и    это заданное значение температур в момент времени Т.

 

Поиск минимума функционала при данном способе можно осуществлять с применением методов динамического программирования либо с применением встроенных в современные программные пакеты функций (например функцией «Поиск решения» в электронных таблицах Excel).

 

Метод максимума Понтрягина

 

Суть метода максимума Понтрягина для расчета оптимального управления нагревом сводится к следующему: для динамической системы, описываемой дифференциальными уравнениями, строится сопряженная система, причем таким образом, чтобы элементы этой сопряженной системы являлись бы частными производными основной системы. Совместное решение этих систем позволяет получить траекторию оптимального управления [4, с. 72].

Например, при нагреве тела в рабочем пространстве нагревательной печи можно записать систему уравнений из трех инерционных звеньев (ф. 3):

 

        (формула 3)

Для получения сопряженной системы Понтрягиным была введена специальная функция (Гамильтониан или Понтрягиниан). В общем виде функция представляет собой (ф. 4):

 

              (формула 4)

где  и – функции сопряженных и основных элементов соответственно.

 

При постановке задачи определения оптимального управления нагревом самое главное – это выбор критерия оптимальности. Для задачи минимизации затрат топлива на нагрев в качестве критерия оптимальности выбирается минимизация функции расхода энергии на нагрев (ф. 5):

 

                 (формула 5)

Для нашего случая Понтрягиниан будет иметь вид (ф. 6):

(формула 6)

Возьмем частные производные по каждой из переменных состояния Понтрягиниана (ф. 7-10):

   (формула 7)
       (формула 8)
        (формула 9)
     (формула 10)

В нашем случае, по определению, .

При решении системы уравнений (ф. 7-10) находится функция , из которой определятся оптимальное управление  (ф. 11):

 

         (формула 11)

Для решения сопряженной системы уравнений требуется поставить задачу Коши, т.е. определить значение функций , ,  в начальный момент времени. Из физического смысла задачи нагрева их определить невозможно. Поэтому для их нахождения воспользуемся следующим приёмом: введём функционал I, который запишется (ф. 12):

 

      (формула 12)

а решение задачи Коши сведётся к поиску каким-либо поисковым методом начальных значений функций сопряженных элементов , , , чтобы функционал достигал минимального значения.

 

Сравнение методов расчёта оптимального управления

 

Решим задачу оптимального управления (U) с помощью функции «Поиск решения» Excel, выбрав в качестве целевой функцию (ф. 2) и меняя значение Ui с 1 по 10. В качестве начальных условий примем: U(0)=0, Тгс(0)=0, Тпов(0)=0, Тц(0)=0. В качестве конечных условий примем Тпов(T)=1000 °C, Тц(T)=1000 °C. Время нагрева примем: T=100 мин. Затем произведем расчет оптимального управления (U’) по методу Понтрягина и сравним его с полученным оптимальным управлением с помощью функции «Поиск решения» (рис. 2).

 

Рисунок 2 – Сравнение вариантов оптимального управления

 

Как видно из рисунка 4, графики нагрева, рассчитанные двумя способами (U – функцией «Поиск решения», U’ – по методу максимума Понтрягина), расположены достаточно близко друг к другу.

Сравним энергетические затраты на нагрев (представляющие собой площади под графиками U и U’) по двум методам: U = 74053 (ед2),
U’ = 73508 (ед2). Значение отношения интегральных площадей составляет 0,993 (≈1), т.е. погрешность в расчете между двумя методами менее 0,7%, что говорит о том, что два различных метода дали очень схожие результаты, что в свою очередь подтверждает то, что оптимальное управление при переводе системы из одного состояния в другое единственное для заданных условий.

 

Список литературы

 

  1. Селифонов В.В., Куликов И.А. Использование теории оптимального управления при исследовании силовой установки гибридного автомобиля // Автомобиле- и тракторостроение в России: материалы международной научно-технической конференции. (Москва, 17 ноября 2010 г.). – М.: МГТУ «МАМИ», 2010.
  2. Парсункин Б.Н., Прозоров В.В., Андреев С.М. Оптимальное управление нагревом металла с целью минимизации затрат топлива // Электротехнические системы и комплексы: Межвузовский сборник научных трудов - Магнитогорск: МГГУ, 1998. Вып.3. - с. 163-168.
  3. В.Н. Перетятько, Н.В. Темлянцев, М.В. Темлянцев. Нагрев стальных слябов // Учебное пособие – Теплотехник, М.: 2008.
  4. Понтрягин Л.С. Принцип максимума в оптимальном управлении: монография. – М.: Едиториал УРСС, 2004.